تحقیق برنامه ریزی نیمه معین SDP

دسته بندي : دانش آموزی و دانشجویی » دانلود تحقیق
لینک دانلود و خرید پایین توضیحات
دسته بندی : وورد
نوع فایل :  word (..doc) ( قابل ويرايش و آماده پرينت )
تعداد صفحه : 18 صفحه

 قسمتی از متن word (..doc) : 
 

‏1
‏ ‏به نام خدا
‏چکیده‏:
‏نظر به آنکه در دهه اخیر بسیاری از مسائل بهینه سازی با استفاده از روش کارآمد برنامه ریزی نیمه معین (SDP‏)حل می شوند،بر آن دیدیم تا گزارشی از مفاهیم مقدماتی آن را ارائه کنیم.در این مجموعه سعی شده است تا عناوین اصلی مساله برنامه ریزی خطی نیمه معین به بحث گذاشته شود.
‏در آغاز ساختمان و مفاهیم کلیدی مساله برنامه ریزی خطی(LP‏) بازنگری شده و سپس مساله برنامه ریزی نیمه معین معرفی شده است.این عمل در ابتدای متن گزارش به دلیل وجوه اشتراک بسیار زیاد این دو مساله خواننده را برای مطالعه برنامه ریزی نیمه‏ ‏معین آماده می‏ ‏کند.همچنین در قسمت ابتدایی متن مروری اجمالی بر روابط موجود میان ماتریس ها،بردارها و فضاهای اقلیدسی شده است.(به راستی از آن جایی که جبر خطی جز لاینفک مفاهیم موجود در علم تحقیق در عملیات است،تسلط بر آن رمز موفقیت در مطالعه این شاخه نوپای ریاضی می باشد ).
‏پس از معرفی مساله برنامه ریزی نیمه معین با ارائه مثال هایی کاربرد این مساله را در حل مسائل بهینه سازی شرح داده ایم و نیز در قسمتی از آن با بیان مساله برنامه ریزی خطی به عنوان حالت خاصی از مساله برنامه ریزی نیمه معین، عمومیت و سیطره آن بر مساله برنامه ریزی خطی(LP‏) بیش از پیش برای خواننده مشخص و معین شده است.
‏در ادامه به معرفی مساله دوگان مساله برنامه ریزی خطی نیمه معین و روابط میان جواب های این دو مساله به تفصیل پرداخته ایم .نکته جالب در این بخش شباهت های بسیار زیاد این روابط با قضایای ضعیف و قوی دوگانی مطرح شده در مسئله برنامه ریزی خطی می باشد.
‏در پایان گزارش به بررسی مساله ای جالب و خواندنی در نظریه گراف اقدام شده است که شاید این مثال بار دیگر ارتباط تنگاتنگ شاخه های متفاوت ریاضی با یکدیگر را به اثبات برساند.
‏به دلیل آن که مساله برنامه ریزی برنامه ریزی نیمه معین را نمی توان به وسیله روش هایی مشابه روش سیمپلکس حل کرد و بیشتر از روش های نقطه درونی در حل آن استفاده می شود که همانا برای مطالعه آن ها نیاز به دانستن مطالبی فراتر از سرفصل های ارائه شده در دوره کارشناسی ریاضی است،از ذکر آن ها در این گزارش خودداری شده است .در قسمت پایانی متن منابع استفاده شده در این پروژه که عموما مقالاتی مرتبط از سایت های دانشگاه های معتبر جهان می باشد ،ذکر شده اند.
‏امید است مطالب این گزارش بتواند تا حدی بازگوی کاربردهای بی شمار مساله برنامه ریزی نیمه معین باشند .
‏در پایان از زحمات بی دریغ ‏دکتر محمدرضا پیغامی‏ که نصایح و رهنمود های ایشان ما را به داشتن شهودی هر چه بهتر از دنیای ریاضیات کاربردی سوق می دهد،کمال تشکر را داریم.
‏شهریار میرزاده روزبه ابرازی رضا دل ریش
‏2
‏فهرست مطالب
‏1 مقدمه‏ 4
‏2 مرور‏ی‏ کوتاه بر برنامه ر‏ی‏ز‏ی‏ خط‏ی‏ ‏4
‏3 نکات‏ی‏ پ‏ی‏رامون‏ ماتر‏ی‏س‏ ها و مخروط ها‏ی‏ ن‏ی‏مه‏ مع‏ی‏ن‏ 6
‏4 برنامه ر‏ی‏ز‏ی‏ ن‏ی‏مه‏ مع‏ی‏ن‏ 8
‏5 دوگان مسئله SDP‏ ‏11
‏6 خواص کل‏ی‏د‏ی‏ مسائل برنامه ر‏ی‏ز‏ی‏ خط‏ی‏ که به برنامه ر‏ی‏ز‏ی‏ ن‏ی‏مه‏ مع‏ی‏ن‏ گسترش نم‏ی‏ ‏ی‏ابند‏ ‏ 16
‏7 SDP‏ در به‏ی‏نه‏ ساز‏ی‏ تر ک‏ی‏ب‏ی‏ات‏ی‏ 16
‏1 . 7 ب‏ی‏ان‏ SDP Relaxation‏ از مسئله برش ‏ی‏ال‏ی‏ ماکس‏ی‏مم‏ 16
‏منابع و مراجع‏ 19
‏15
‏1‏-‏مقدمه‏:
‏15
‏برنامه ریزی نیمه معین (SDP‏) جذاب ترین تحول برنامه ریزی ریاضی در دهه‏90میلادی‏ محسوب می شود . SDP‏ در موضوعات گوناگون از جمله بهینه سازی‏ ‏مقید محدب سنتی ‏، نظریه کنترل و بهینه سازی ترکیبیاتی کاربرد دارد. به دلیل آنکه SDP‏ قابل حل به وسیله روش نقطه درونی می باشد ، بیشتر این موارد کاربرد‏ ،‏ در عمل نیز همانند تئوری کارا هستند.
‏2‏-‏مروری‏ کوتاه‏ بر برنامه ریزی خطی‏:‏
‏مسئله LP‏را در حالت استاندارد در نظر بگیرید:
LP : minimize c.x
s.t. ai.x = bi , i=1,…,m
xR.
‏که در اینجا x‏ یک بردار n‏متغیره است و نماد« c.x‏ »حاکی از ضرب داخلی "‏" می باشد . همچنین‏ ‏│‏ RnRn+‏ و Rn+‏ ‏فضای اقلیدسی نا منفی نامیده می شود.در حقیقت Rn+‏ یک مخروط بسته محدب‏ است‏ ، زمانی به یک مجموعه مانند K‏ یک مخروط بسته محدب می گوییم که شرایط زیر را داشته باشد :
‏اگر x‏ و y‏ بهK‏ تعلق داشته باشد ‏آنگاه ‏ نیز به K‏ تعلق داشته باشد که در آن ‏و ‏ اسکالر های نا منفی هستند.
R+ :‏
K‏ یک مجموعه بسته باشد‏.
‏ این تعریف را می توانیم اینگونه بیان کنیم :
‏"‏ ‏منیمم کردن تابع خطی« c.x‏ » بطوری که x‏ درm‏ معادله ai.x = bi‏ (i=1,…,m‏) صدق کند و x‏ متعلق به مخروط بسته محدب Rn+ ‏ باشد‏ ‏"
‏دوگان یک مسئله LP‏ را به صورت زیر نشان می دهیم :
LD : maximize
‏5
s.t.
sR.
‏اگر x‏ یک جواب شدنی برای مسئله LP‏ و(y,s)‏ یک جواب شدنی برای مسئله LD‏ باشد آنگاه فاصله دوگانی به صورت زیر است:
‏و نا مساوی بالا به خاطر ‏ و ‏حاصل می شود ‏. از قضیه قوی دوآلیتی می دانیم که اگر مسئله اولیه LP‏ دارای جواب شدنی متناهی باشد آنگاه مسئله LD‏ نیز شدنی متناهی است و c.x=y.b‏ و این نتیجه می دهد که فاصله دوگانی (دوآلیتی) وجود ندارد.‏(برابر صفر است)‏یعنی اگرX‏ فضای شدنی مسئله LP‏ و F‏ فضای شدنی مسئلهLD ‏ باشد آنگاه:
‏ X F :‏
‏3‏-‏ نکاتی پیرامون ماتریس ها و مخروط های نیمه معین‏:
‏اگر X‏ یک ماتریس ‏ باشد زمانی گوئیم X‏ یک ماتریس مثبت نیمه معین(PSD‏ ) است که‏ رابطه زیر برقرار باشد‏:
v Rn : vT X‏ v
‏اگر X‏ یک ماتریس ‏ باشد گوئیم X‏ یک ماتریس مثبت معین(PD‏ ) است هر‏ ‏گاه :
v Rn , v0 : vT X‏ v
‏فرض کنید‏ نشان دهنده مجموعه ماتریس های متقارن ‏ باشد و‏ نشان دهنده مجموعه ماتریس های متقارن نیمه معین ‏ و ‏مجموعه ماتریس های ‏ مثبت معین باشد.
‏6